\section{$n$ 阶行列式的性质}

\begin{frame}{$n$ 阶行列式的性质}

行列式的计算是一个重要的问题， 也是一个很麻烦的问题。 $n$ 阶行列式一共有 $n$ !项， 计算它就需做 $n !(n-1)$ 个乘法。 当 $n$ 较大时， $n$ ! 是一个相当大的数字。 直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。 因此我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质可以化简行列式的计算。

\pause
在行列式的定义中， 虽然每一项是 $n$ 个元素的乘积， 但是由于这 $n$ 个元素是取自不同的行与列， 所以对于某一确定的行中 $n$ 个元素 (譬如 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$) 来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素。 因之， $n$ 阶行列式的 $n!$ 项可以分成 $n$ 组，第一组的项都含有 $a_{i 1}$, 第二组的项都含有 $a_{i 2}$, 等等。再分别把 $i$ 行的元素提出来， 就有
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n},
\]
其中 $A_{i j}$ 代表那些含有 $a_{i j}$ 的项在提出公因子 $a_{i j}$ 之后的代数和。 至于 $A_{i j}$ 究竟是哪些项的和， 我们暂且不管， 到 \S6 再来讨论。
\pause
从以上讨论可以知道， $A_{i j}$ 中不再含有第 $i$ 行的元素，也就是 $A_{i 1}, A_{i 2}, \cdots, A_{i n}$ 全与行列式中第 $i$ 行的元素无关。 由此即得

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proposition*}[性质 2 (对一行的线性性之数乘)]
\[\small
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} .
\]
\end{proposition*}
\pause
这就是说，一行的公因子可以提出去， 或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。令 $k=0$ 就有， \emph{如果行列式中一行为零， 那么行列式为零}。
\pause
\begin{proposition*}[性质 3 (对一行的线性性之加法)]
  \[\small
    \begin{vmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
  b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & \cdots & b_{n}+c_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} .
\]\end{proposition*}
\pause
这就是说， 如果某一行是两组数的和， 那么这个行列式就等于两个行列式的和， 而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
\pause
性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形，读者可以自己写出来。

\pause
%  再根据排列的性质，我们有：
\begin{proposition*}[性质 4 (交错性)]
  若行列式中有两行相同，则行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
\end{proposition*}


\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof*}[性质 2 的证明]
由 (1) 得
\[
  \begin{aligned}
    \begin{vmatrix} 
    & a_{11} & a_{12} & \cdots \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}&= k a_{i 1} A_{i 1}+k a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+k a_{i n} A_{i n} \\
\pause
& =k\left(a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}\right)\\
\pause
&= k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} .
\end{aligned}
\]
\end{proof*}

\end{frame}
\begin{frame}

  \begin{proof*}[性质 3 的证明]
  设这一行是第 $i$ 行，于是
\[
  \begin{aligned}
    & \hspace{1em} \begin{vmatrix}
          a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
          \vdots & \vdots & & \vdots \\
        b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & \cdots & b_{n}+c_{n} \\
      \vdots & \vdots & & \vdots \\
    a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}\\
&= \left(b_{1}+c_{1}\right) A_{i 1}+\left(b_{2}+c_{2}\right) A_{i 2}+\cdots+\left(b_{n}+c_{n}\right) A_{i n} \\
\pause
& =\left(b_{1} A_{i 1}+b_{2} A_{i 2}+\cdots+b_{n} A_{i n}\right)+\left(c_{1} A_{i 1}+c_{2} A_{i 2}+\cdots+c_{n} A_{i n}\right) \\
\pause
& =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{proof*}


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[性质 4 的证明]
  设行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  %a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{2}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\sum_{j_{1} \cdots j_{n}}(-1)^{\left(j_{1} \cdots j_{i} \cdots j_{k} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{i j_{i}} \cdots a_{k j_{k}} \cdots a_{n j_{n}}
\]
中第 $i$ 行与第 $k$ 行相同，即
$a_{i j}=a_{k j}$ ($j=1,2, \cdots, n$). 
\pause
为了证明 (2) 为零， 只需证明 (2) 的右端所出现的项全能两两相消就行了。 
\pause
事实上，与项
\[
(-1)^{\tau\left(j_{1} \cdots j_{i} \cdots j_{k} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{i j_{i}} \cdots a_{k j_{k}} \cdots a_{n j_{n}}
\]
同时出现的还有
\[
(-1)^{\tau\left(j_{1} \cdots j_{k} \cdots j_{i} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{i j_{k}} \cdots a_{k j_{i}} \cdots a_{n j_{n}} .
\]
\pause
比较这两项，由 $a_{i j}=a_{k j}$ 有
\[
a_{i j_{i}}=a_{k j_{i}}, \quad a_{i j_{k}}=a_{k j_{k}} .
\]
也就是说，这两项有相同的数值。
\end{proof*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[性质 4 的证明 (续)]
    但是排列
\[
j_{1} \cdots j_{i} \cdots j_{k} \cdots j_{n} \text { 与 } j_{1} \cdots j_{k} \cdots j_{i} \cdots j_{n}
\]
相差一个对换， 因而有相反的奇偶性， 所以这两项的符号相反。 
\pause
易知， 全部 $n$ 阶排列可以按上述形式两两配对。
\pause
因之，在 (2) 的右端， 对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现， 从而行列式为零。 
  \end{proof*}

  \pause
由这三个性质我们不难推得行列式其他的一些性质。
\begin{proposition*}[性质 5]
  如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。
\end{proposition*}
\pause
  \begin{proposition*}[性质 6]
    把一行的倍数加到另一行， 行列式不变。
\end{proposition*}
\pause
  \begin{proposition*}[性质 7 (交错性)]
  对换行列式中两行的位置， 行列式反号。
\end{proposition*}

\end{frame}
\begin{frame}

  \begin{proof*}[性质 5 的证明]
\[
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}
\pause
=0,
\]
这里第一步是根据性质 2 , 第二步是根据性质 4. 
\end{proof*}

\begin{proof*}[性质 6 的证明]
  我们证明特别的情形就能看清楚：
\[
  \begin{aligned}
    \begin{vmatrix}
      a_{11} + c a_{31}  & a_{12} + c a_{32} & a_{13}+ ca_{33} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} 
    \end{vmatrix}
\pause
    &=    \begin{vmatrix}
      a_{11}  & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} 
    \end{vmatrix} +    \begin{vmatrix}
      c a_{31}  &  c a_{32} &  ca_{33} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} 
    \end{vmatrix} \\
    \pause
    &=   \begin{vmatrix}
      a_{11}  & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} 
    \end{vmatrix}.
  \end{aligned}
\]
%\[
%  \begin{aligned}
%      & \begin{vmatrix}
%          a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%          \vdots & \vdots & & \vdots \\
%        a_{i 1}+c a_{k 1} & a_{i 2}+c a_{k 2} & \cdots & a_{i n}+c a_{k n} \\
%      \vdots & \vdots & & \vdots \\
%    a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%  \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{vmatrix} \\
%& \left.\begin{array}{cccc}
%    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%  \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{array}|+| \begin{array}{cccc}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%c a_{k 1} & c a_{k 2} & \cdots & c a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{array}|=| \begin{array}{cccc}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{array} \right\rvert\, .
%\end{aligned}
%\]
%这里，第一步是根据性质 3 ,第二步是根据性质 5. 
\end{proof*}
\end{frame}
\begin{frame}
%根据性质 6 即得
\begin{proof*}[性质 7 的证明]
  我们对特别的情形证明。要证明对换第$1,2$行行列式的值变号，
  我们把所给行列式的第$1,2$行的和、第$2,1$行的和分别作为新的第$1,2$行 (如下), 
  此时新的$1,2$行相同，值为$0$. 如下继续即可得我们想要的：
  \[
    \begin{aligned}
      0 & 
      \overset{\circled{1}}{=}  \begin{vmatrix}
       a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} & a_{13} + a_{23}\\ 
       a_{21} + a_{11} & a_{22} + a_{12}  & a_{23} + a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix} \\ 
      \pause
     & \stackrel{\circled{2}}{=}
      \begin{vmatrix}
       a_{11}  & a_{12}  & a_{13} \\ 
       a_{21} + a_{11} & a_{22} + a_{12}  & a_{23} + a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
       a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
       a_{21} + a_{11} & a_{22} + a_{12}  & a_{23} + a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix}\\
      \pause
      &\overset{\circled{3}}{=} \begin{vmatrix}
       a_{11}  & a_{12}  & a_{13} \\ 
       a_{21} & a_{22}  & a_{23} \\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}
       a_{11}  & a_{12}  & a_{13} \\ 
       a_{11} &  a_{12}  &  a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
       a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
       a_{21} & a_{22}  & a_{23} \\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
       a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
        a_{11} &  a_{12}  &  a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix}\\
      \pause
      &\overset{\circled{4}}{=} \begin{vmatrix}
       a_{11}  & a_{12}  & a_{13} \\ 
       a_{21} & a_{22}  & a_{23} \\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix}+  \begin{vmatrix}
       a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 
        a_{11} &  a_{12}  &  a_{13}\\ 
        a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{vmatrix}.
    \end{aligned}
  \]
 其中  \circled{1} 是应用了性质 4 所述的交错性，
  \circled{2} 是应用性质 3 拆开第一行的和，
  \circled{3} 是再次性质 3 拆开第二行的和，
\circled{4} 再次应用了性质 4 所述的交错性。
\end{proof*}
%\begin{proof}
%\[
%  \begin{aligned}
%    \begin{vmatrix}
%    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%  \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{vmatrix} & =\begin{vmatrix}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1}+a_{k 1} & a_{i 2}+a_{k 2} & \cdots & a_{i n}+a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \\
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1}+a_{k 1} & a_{i 2}+a_{k 2} & \cdots & a_{i n}+a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%-a_{i 1} & -a_{i 2} & \cdots & -a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{vmatrix}
%\end{aligned}
%\]
%\[
%  =\begin{vmatrix}
%  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%-a_{i 1} & -a_{i 2} & \cdots & -a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{vmatrix} .
%\]
%这里， 第一步是把第 $k$ 行加到第 $i$ 行， 第二步是把第 $i$ 行的 $-1$ 倍加到第 $k$ 行， 第三步是把第 $k$ 行加到第 $i$ 行， 最后再把第 $k$ 行的公因子$- 1$ 提出。
%\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
我们应用行列式的性质来计算行列式。

\begin{example}
  我们有
  \[
    \begin{vmatrix}
    0 & -1 & 2\\
    2 & 1 & 1\\
    1 & 2 & 3
  \end{vmatrix}
\overset{\circled{1}}{=}\begin{vmatrix}
  1 & 2 & 3\\
  0 & -1 & 2\\
  2 & 1 & 1\\
  \end{vmatrix}
\pause
  \overset{\circled{2}}{=}\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    0 & -1 & 2\\
    0 & -3 & -5
  \end{vmatrix} 
\pause
  \overset{\circled{3}}{=}
\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    0 & -1 & 2\\
    0 & 0 & -11
  \end{vmatrix}
\pause
  \overset{\circled{4}}{=}11,
\]
其中 \circled{1} 做了两次交换两行 (故行列式两次变号，等于没变号)，
\circled{2} 做了操作：把第 $1$行的$-2$倍加到第3行 (行列式的值不变), 
\circled{3} 做了操作：把第 $2$行的$-3$倍加到第3行 (行列式的值不变),
\circled{4} 用了上三角形行列式的公式。
  \end{example}

\pause
  通过转置，我们可以把行列式关于行的性质搬到列上。
   \begin{proposition*}[性质 2' (对一列的线性性之数乘)]
\[
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & \cdots & ka_{1j} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21}  & \cdots & ka_{2j} & \vdots & a_{2n} \\
\vdots  & & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & ka_{n j} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=k  \begin{vmatrix}
    a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21}  & \cdots & a_{2j} & \vdots & a_{2n} \\
\vdots  & & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}.
\]
\end{proposition*}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{proposition*}[性质 3' (对一列的线性性之加法)]
  \[
    \begin{vmatrix}
      a_{11} & \cdots &  b_1+c_1 & \cdots & a_{1 n} \\
      a_{21} & \cdots & b_2+c_2 & \cdots & a_{2n}\\
      \vdots & & \vdots & & \vdots \\
      a_{n 1} & \cdots & b_n+c_n & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
      a_{11} & \cdots &  b_1 & \cdots & a_{1 n} \\
      a_{21} & \cdots & b_2 & \cdots & a_{2n}\\
      \vdots & & \vdots & & \vdots \\
      a_{n 1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
      a_{11} & \cdots &  c_1 & \cdots & a_{1 n} \\
      a_{21} & \cdots & c_2 & \cdots & a_{2n}\\
      \vdots & & \vdots & & \vdots \\
      a_{n 1} & \cdots & c_n & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}.
\]
\end{proposition*}

\begin{proposition*}[性质 4' (交错性)]
  若行列式中有两列相同，则行列式为零。所谓两列相同就是说两列的对应元素都相等。
\end{proposition*}


\begin{proposition*}[性质 5']
  如果行列式中两列成比例， 那么行列式为零。
\end{proposition*}
  \begin{proposition*}[性质 6']
    把一列的倍数加到另一列， 行列式不变。
\end{proposition*}
  \begin{proposition*}[性质 7' (交错性)]
  对换行列式中两列的位置， 行列式反号。
\end{proposition*}

\end{frame}



\begin{frame}
 下面计算行列式的例子中我们既用了行列式关于行的性质，也用了关于列的性质。 

  \begin{example}%例1 
    \label{15A}
    \[
      \begin{aligned}
      \begin{vmatrix}
      a & b & b & \cdots & b \\
      b & a & b & \cdots & b \\
      b & b & a & \cdots & b \\
      \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
      b & b & b & \cdots & a
    \end{vmatrix}
\pause
    &\overset{\circled{1}}{=} 
      \begin{vmatrix}
        a+(n-1) b & b & b & \cdots & b \\
      a+(n-1) b & a & b & \cdots & b \\
      a+(n-1) b & b & a & \cdots & b \\
      \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
      a+(n-1) b & b & b & \cdots & a
      \end{vmatrix} 
      \pause
      \overset{\circled{2}}{=} [a+(n-1) b]
      \begin{vmatrix}
        1 & b & b & \cdots & b \\
        1 & a & b & \cdots & b \\
        1 & b & a & \cdots & b \\
        \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
        1 & b & b & \cdots & a
      \end{vmatrix} \\
      \pause
      &\overset{\circled{3}}{=}  [a+(n-1) b]
      \begin{vmatrix}
          1 & b & b & \cdots & b \\
        0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\
        0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\
        \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
        0 & 0 & 0 & \cdots & a-b
      \end{vmatrix} \\
      \pause
      &\overset{\circled{4}}{=} [a+(n-1) b](a-b)^{n-1},
      \end{aligned}
    \]
    其中 \circled{1} 是把第 $2, 3,\ldots, n$ 列加到第一列（每个操作都不改变行列式），
    \circled{2} 是提取第一列的公因子 $a+(n-1)b$,
    \circled{3} 是把行列式的第 $1$ 行乘以 $-1$ 加到后面每一列（每个操作都不改变行列式），
    \circled{4} 是应用了上三角形的行列式的公式。
%  计算 $n$ 阶行列式
%\[
%  d=\begin{vmatrix}
%  a & b & b & \cdots & b \\
%b & a & b & \cdots & b \\
%b & b & a & \cdots & b \\
%\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%b & b & b & \cdots & a
%\end{vmatrix} .
%\]
%这个行列式的特点是每一行有一个元素是 $a$, 其余 $n-1$ 个元素是 $b$. 
%根据性质 6 , 把第二列加到第一列， 行列式不变， 再把第三列加到第一列， 行列式也不变 $\cdots \cdots$. 直到第 $n$列也加到第一列， 即得
%\[
%  d=\begin{vmatrix}
%  a+(n-1) b & b & b & \cdots & b \\
%a+(n-1) b & a & b & \cdots & b \\
%a+(n-1) b & b & a & \cdots & b \\
%\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a+(n-1) b & b & b & \cdots & a
%\end{vmatrix}=[a+(n-1) b]\begin{vmatrix}
%1 & b & b & \cdots & b \\
%1 & a & b & \cdots & b \\
%1 & b & a & \cdots & b \\
%\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%1 & b & b & \cdots & a
%\end{vmatrix} .
%\]
%把第二行到第 $n$ 行都分别加上第一行的 $-1$ 倍，就有
%\[
%  d=[a+(n-1) b]\begin{vmatrix}
%  1 & b & b & \cdots & b \\
%0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\
%0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\
%\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%0 & 0 & 0 & \cdots & a-b
%\end{vmatrix} .
%\]
%这是一个上三角形的行列式， 根据 \S3 例 2 得
%\[
%d=[a+(n-1) b](a-b)^{n-1}.
%\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 说说我们讲到的六条行列式关于行的性质。
    \item 说说这些性质的列的版本。
    \item 举例说说这些性质对行列式的计算的应用。
  \end{enumerate}
\end{frame}
